Karakteristinen polynomi

Karakteristinen polynomi on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita matriisiin liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.

Lähtökohta

Annetulle neliömatriisille $A$ on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat $A$:n ominaisarvot.

Päädiagonaalimatriisi

Päädiagonaalimatriisille eli lävistäjämatriisille $A$ karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa $a_{i}$, missä $i=1,...,n$, niin karakteristinen polynomi on muotoa

$p_{A}(t)=(t-a_{1})(t-a_{2})(t-a_{3})...(t-a_{n})\,$

Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.

Yleinen tapaus

Yleisen $n\times n$-neliömatriisin $A$ tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Kerroinkunnan alkio (luku) $\lambda$ on matriisin $A$ ominaisarvo, jos ja vain jos on olemassa sellainen vektori (ominaisvektori) ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$, että

$A{\vec {v}}=\lambda {\vec {v}}$,

eli

$(\lambda I-A){\vec {v}}={\vec {0}}$,

missä $I$ on yksikkömatriisi. Koska vektori ${\vec {v}}$ on nollasta eroava, on matriisin $(A-\lambda I)$ oltava singulaarinen, jolloin sen determinantti on $0$. Tämän determinantista saadun polynomin $\det(tI-A)$ juuret ovat $A$:n ominaisarvoja.

Ominaisarvot löydetään siis polynomiyhtälön

$\det(tI-A)=0\,$

ratkaisuina.

Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.

Formaali määritelmä

Olkoon $K$ kunta ja $A$ $K$-kertoiminen $n\times n$ -matriisi. Matriisin $A$ karakteristinen polynomi $p_{A}(t)$ on määritelmän mukaan

$p_{A}(t)=\det(tI-A)\,$,

missä $I$ on $n\times n$ yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla $\det(A-tI)$. Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi luvulla $\pm 1$.

Esimerkki

Lasketaan matriisin

$A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.$

karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:

$\det(tI-A)=\det {\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t\end{pmatrix}}.$

Tämä determinantti on

$(t-2)t-1\cdot (-1)=t^{2}-2t+1.\,\!$

Tämä on $A$:n karakteristinen polynomi, missä $t$ on matriisin ominaisarvo.

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.